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    已知：正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为a．

    (1) 求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

    (2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离．

     

    答案：
    解析：

    		证明：(1) 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

    ∵ BB1平行且等于DD1，

    ∴ 四边形BB1D1D是平行四边形，

    ∴ BD∥B1D1，

    ∴ BD∥平面B1D1C．

    同理 A1B∥平面B1D1C，

    又A1B∩BD=B，

    ∴ 平面A1BD∥平面B1D1C

    解：(2) 连AC1交平面A1BD于M，交平面B1D1C于N．

    AC是AC1在平面AC上的射影，又AC⊥BD，

    ∴ AC1⊥BD，

    同理可证，AC1⊥A1B，

    ∴ AC1⊥平面A1BD，即MN⊥平面A1BD，

    同理可证MN⊥平面B1D1C．

    ∴ MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离，

    设AC、BD交于E，则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E．

    ∵ M∈平面A1BD，M∈AC1平面A1C，

    ∴ M∈A1E．

    同理N∈CF．

    在矩形AA1C1C中，由平面几何知识得

    ，

    ∴ ．

     


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    14
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    ．

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