Question

设函数，且，其中p≥0，e是自然对数的底数．
（1）求p与q的关系；
（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围．
（3）设．若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意，∵函数，且，∴（p-q）（）=0
∵≠0，∴p-q=0，∴p=q
（2）由（1）知，，求导函数，可得f′（x）=
当p=0时，f′（x）=-＜0，所以f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调减函数
当p＞0时，要使f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，由于h（x）=px²-2x+p图象为开口向上的抛物线，所以只需h（x）在（0，+∞）内满足h（x）≥0恒成立
函数h（x）=px²-2x+p的对称轴为，∴
∴只需，∵p＞0，∴p≥1
综上所述，p的取值范围为{0}∪[1，+∞）
（3）∵在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）_min=2；x=1时，g（x）_max=2e，即g（x）∈[2，2e]
①当p=0时，由（2）知f（x）在[1，e]上是减函数，∴f（x）_min=f（1）=0，不合题意；
②当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜2，
又在[1，e]上是减函数，故只需f（x）_max＞g（x）_min（x∈[1，e]），
∵f（x）_max=f（e）=p（e-）-2，g（x）_min=2，
∴p（e-）-2＞2，∴；
③当0＜p＜1时，由x∈[1，e]，≥0，
由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，≤≤2，不合题意
综上，实数p的取值范围是．
分析：（1）根据函数，且，可得（p-q）（）=0，从而可求p与q的关系；
（2）求导函数，再进行分类讨论：当p=0时，f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调减函数；当p＞0时，要使f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，只需h（x）在（0，+∞）内满足h（x）≥0恒成立，从而可求p的取值范围；（3）确定在[1，e]上的最值，再分类讨论：①当p=0时，f（x）_min=f（1）=0，不合题意；②当p≥1时，只需f（x）_max＞g（x）_min（x∈[1，e]）；③当0＜p＜1时，不合题意，从而可求实数p的取值范围是．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．