Question

11．已知数列{a_n}为公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₂₁成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=3^n-1，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），数列{b_n}的公比为q，
∵由题意得a${\;}_{3}^{2}$=a₁a₂₁，∴（1+2d）²=1×（1+20d），即4d²-16d=0，
∵d≠0，∴d=4，∴a_n=4n-3．
（2）∵由（1）可得a_nb_n=（4n-3）3^n-1，
∴S_n=3⁰+5×3¹+9×3²+…+（4n-7）×3^n-2+（4n-3）×3^n-1，
3S_n=3¹+5×3²+9×3³+…+（4n-7）×3^n-1+（4n-3）×3ⁿ，
两式相减得：
-2S_n=1+4×3+4×3²+4×3³+…+4×3^n-1-（4n-3）×3ⁿ
=1+4（3+3²+3³+…+3^n-1）-（4n-3）×3ⁿ
=1+$\frac{4×3×（1-3n-1）}{1-3}$-（4n-3）×3ⁿ=（5-4n）×3ⁿ-5，
∴S_n=$\frac{（4n-5）3n+5}{2}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．