对于数列an,(1)已知an是一个公差不为零的等差数列,a5=6.
①当a3=2时,若自然数n1,n2,…,nt,…满足5<n1<n2<…<nt<…,且a3,a5,an1,an2,…,ant,…是等比数列,试用t表示nt;
②若存在自然数n1,n2,…,nt,…满足5<n1<n2<…<nt<…,且a3,a5,an1,an2,…,ant,…构成一个等比数列.求证:当a3是整数时,a3必为12的正约数.
(2)若数列an满足an+1an+3an+1+an+4=0,且a2009小于数列an中的其他任何一项,求a1的取值范围.
分析:(1)①在等差数列{a
n}中,由a
5=6,a
3=2,求出公差d,然后求出通项a
n,进而求出a
nt,由a
3,a
5a
n1,a
n2,…,a
nt…是等比数列,且可求出公比q,再求出a
nt,两次求出的a
nt相等,找出n与t的关系;
②由a
3,a
5a
n1,a
n2,…,a
nt…是等比数列,由等比中项可得a
3a
n1=a
52,即
an1==.,又由已知已知{a
n}是等差数列,可求
an1=a3+ (n1- 3)•=
a3+(n1-3)=
,整理可得
n=5+,由n为正整数可知a
3为12的正约数
(2)由a
n+1a
n+3a
n+1+a
n+4=0,得a
n+1a
n+2a
n+1+2a
n+4=a
n-a
n+1,
即(a
n+1+2)(a
n+2)=(a
n+2)-(a
n+1+2).a
2009小于数列a
n中的其他任何一项,可知a
n不是常数列,构造新的等差数列
-=1,并借助该数列的单调性与反证法求出a
1的范围.
解答:解:(1)①因为a
3=2,a
5=6,所以,公差d=
=2,
从而a
n=a
5+(n-5)d=2n-4(2分)
又a
3,a
5,a
n1,a
n2,a
nt,是等比数列,所以公比q=
=3,所以
a
nt=a
5•3
t=2•3
t+1,t∈N
*.
又a
nt=2n
t-4,所以2n
t-4=2•3
t+1,所以
n
t=3
t+1+2,t∈N
*.(4分)
②因为n
1>5时,a
3,a
5,a
n1成等比数列,所以a
3a
n1=a
52,即
an1==.(6分)
所以当n≥3时,
an1=a3+(n1-3)•=a3+(n1-3),
所以
=a3+(n1-3),
即
-a3=(n1-3),
所以
=(n1-3).
因为6-a3≠0,所以=,解得
n1=5+.
因为n
1是整数,且n
1>5,所以
是正整数,从而整数a
3必为12的正约数.(8分)
(2)由a
n+1a
n+3a
n+1+a
n+4=0,得a
n+1a
n+2a
n+1+2a
n+4=a
n-a
n+1,
即(a
n+1+2)(a
n+2)=(a
n+2)-(a
n+1+2).(*)(10分)
由(*)知:若存在a
k=-2,则a
k+1=-2;若存在a
k+1=-2,则a
k=-2,所以a
n是常数列,与“a
2009小于数列a
n中的其他任何一项”矛盾,因此(a
n+1+2)(a
n+2)≠0.
由(*)式知
-=1,从而数列
{}是首项为
,公差为1的等差数列,即
=+(n-1).(12分)
方法一由于数列
{}是递增数列,且a
2009小于数列{a
n}中的其他任何一项,即a
2009+2小于数列{a
n+2}中的其他任何一项,所以a
2009+2<0,
且a
2010+2>0,这是因为若a
2009+2>0,则由
<,
得a
2009+2>a
2010+2>0,即a
2009>a
2010,与
“a
2009小于数列a
n中的其他任何一项”矛盾:
若a2010+2<0,则由<,得a2010+2<a2009+2<0,即a2009>a2010,与“a
2009小于数列a
n中的其他任何一项”矛盾:因此,
a2009+2<0,且=-1>-1,从而-1<<0,
即
-1<+2008<0,即-2009<<-2008,
即
-<a1+2<-,
即-1
<-2<a1<--2,即-<a1<-.(15分)综上,a
1的取值范围是
(-,-).(16分)方法二
=n-(1-),即an+2=,所以当n<1-
时,a
n+2单调递增,且a
n+2<0;
当n>1-
时,2+a
n单调递减,且a
n+2>0.
由于a
2009小于数列{a
n}中的其他任何一项,即a
2009+2小于数列{a
n+2}中的其他任何一项,
所以a
2009+2<0,且a
2010+2>0,
即2009<1-<2010,
即-2009<
<-2008,
即-
<a1+2<;
解得-
<a1<-.
综上,a
1的取值范围是
(-,-).(16分)
点评:本题是等差数列与等比数列的综合应用,解答中要注意数列递推公式与数列单调性的应用,属于较难试题