Question

（本题满分16分）

如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点F₁，F₂和短轴的一个端点A构成等边三角形，

点(，)在椭圆C上，直线l为椭圆C的左准线．

（1） 求椭圆C的方程；

（2） 点P是椭圆C上的动点，PQ ⊥l，垂足为Q．

是否存在点P，使得△F₁PQ为等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1） ＋ ＝1．（2）存在点P(－，±)，使△PF₁Q为等腰三角形

【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力

（Ⅰ）设出椭圆方程，根据△AF₁F₂为正三角形可推断出a和b的关系，设b²=3λ，a²=4λ，代入椭圆方程，进而把点(，)代入即可求得λ，则椭圆的方程可得．

（Ⅱ）根据（1）可求得椭圆的离心率，进而求得PF₁和PQ的关系，假设PF₁=F₁Q根据PF₁= PQ推断出PF₁+F₁Q=PQ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，假设不成立，再看若F₁Q=PQ，设出P点坐标，则Q点坐标可得，进而表示出F₁Q和PQ求得x和y的关系，与椭圆方程联立求得P点坐标．判断出存在点P，使得△PF₁Q为等腰三角形。

（1）椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知△AF₁F₂为正三角形，所以

      sin∠AF₁O＝＝，所以＝，＝．

      设b²＝3λ，a²＝4λ，椭圆方程为＋＝λ．

椭圆经过点(，)，解得λ＝1，所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1．

（2）由＝e＝，得PF₁＝PQ．所以PF₁≠PQ．

①若PF₁＝F₁Q，则PF₁＋F₁Q＝PQ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，

所以PF₁不可能与PQ相等

②若F₁Q＝PQ，设P(x，y)(x≠±2)，则Q(－4，y)．∴＝4＋x，

∴9＋y²＝16＋8x＋x²，又由＋＝1，得y²＝3－x²．

∴9＋3－x²＝16＋8x＋x²，∴x²＋8x＋4＝0．

∴7x²＋32x＋16＝0．∴x＝－或x＝－4．

因为x∈(－2，2)，所以x＝－．所以P(－，±)．

存在点P(－，±)，使△PF₁Q为等腰三角形