Question

函数的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]上的值域为[

a

2

，

b

2

]，那么就称函数y=f（x）为“成功函数”，若函数f(x)=logc{cx+t)(c＞0，c≠1)是“成功函数”，则t的取值范围为（　　）

• A．（0，+∞）
• B．（-∞，0）
• C．(

  1

  4

  ，+∞)
• D．(0，

  1

  4

  )

Answer 1

分析：由题意可知f（x）在D内是单调增函数，才为“成功函数”，从而可构造函数f(x)=

1

2

x，转化为求loga(ax+k)=

1

2

x有两异正根，k的范围可求．

解答：解：因为函数f（x）=logc(cx+t)，（c＞0，c≠1）在其定义域内为增函数，则若函数y=f（x）为“成功函数”，
且 f（x）在[a，b]上的值域为 [

a

2

，

b

2

]，
∴

f(a)= a 2 f(b)= b 2

，即 

logc(cm+t)= 1 2 a logc(cn+t)= 1 2 b

，

故 方程f(x)=

1

2

x必有两个不同实数根，
∵logc(cx+t) = 

1

2

x等价于 cx+t  =c

x

2

，等价于  cx  -c

x

2

+ t =0，
∴方程 m²-m+t=0 有两个不同的正数根，∴

△=1-4t＞0 t＞0 1＞0

，∴t∈(0，

1

4

)，
故选D．

点评：本题主要考查对数函数的定义域和单调性，求函数的值域，难点在于构造函数，转化为两函数有不同二交点，利用方程解决，属于难题．