Question

设f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数，g(x)与f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[2，3]时，g(x)＝2t(x－2)－4(x－2)³(t为常数)．

(1)求f(x)的表达式．

(2)当t∈时，求f(x)在[0，1]上取最大值时对应的x值；猜想f(x)在[0，1]上的单调增区间，给予证明．

(3)当t＞6时，是否存在t使f(x)的图象的最高点落在直线y＝12上？若存在，求t的值；若不存在说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任一点，则y0＝f(x0)，P关于x＝1的对称点的坐标应为(2－x0，y0)． 　　又∵在y＝g(x)上，∴y0＝g(2－x0)．即f(x0)＝g(2－x0) 　　f(x)＝g(2－x)，设x∈[－1，0]，则2－x∈[2，3] 　　f(x)＝g(2－x)＝－2tx＋4x3，x∈[－1，0] 　　又∵f(x)为偶函数，当x∈[0，1]，f(x)＝f(－x)＝2tx－4x3 　　∴f(x)＝ 　　②t∈[2，6]，x∈[0，1]，f(x)＝2tx－4x3 　　＝2t－12x2＝0，x＝∈[0，1] 　　当0≤x＜时，＞0 　　∴当x＝时，f(x)在[0，1]取最大值，增区间 　　③f(x)为偶函数，只讨论x∈[0，1]情形t＞6时，＞1．f(x)在[0，)单调递增，f(x)在[0，1]也单调增． 　　f(x)最大值＝f(1)＝2t－4＝12．t＝8．存在t＝8．