Question

已知幂函数y=t（x）的图象过点（2，4），函数y=f（x）的图象可由y=t（x）的图象向左移动

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个单位并向下移动

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4

个单位得到．
（1）求函数t（x）和f（x）的解析式；
（2）若集合A={m∈R|当x∈[-2，2]时，函数g（x）=f（x）-mx具有单调性}，集合B={m∈R|当0＜x＜

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时，不等式f(x)+3＜2x+m恒成立}，求B∩（?_RA）

Answer 1

分析：（1）设出幂函数，把点（2，4）代入幂函数解析式后求幂指数，则t（x）可求，然后利用图象的平移变化可得f（x）的解析式；
（2）根据当x∈[-2，2]时，函数g（x）=f（x）-mx具有单调性，借助于二次函数的对称轴的范围求出m的取值集合A，再利用f（x）+3＜2x+m对x∈（0，

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）恒成立，借助于二次函数在（0，

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）上的单调性求出m的取值集合B，然后直接进行交集与补集的运算．

解答：解：（1）设幂函数t（x）=x^α，由其图象过点（2，4），所以，2^α=4，解得α=2．
故t（x）=x²．
把y=t（x）的图象向左移动

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个单位并向下移动

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个单位，得f（x）=t（x+

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）-

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．
所以，f（x）=(x+

1

2

)2-

9

4

=x2+x+

1

4

-

9

4

=x2+x-2；
（2）由g（x）=f（x）-mx=x²+x-2-mx=x²-（m-1）x-2，
它的对称轴为x=

m-1

2

，
因为函数g（x）在区间[-2，2]上具有单调性，所以

m-1

2

≤-2或

m-1

2

≥2．
解得：m≤-3或m≥5．故A=（-∞，-3]∪[5，+∞）．
再由f（x）+3＜2x+m对x∈（0，

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）恒成立，得：x²+x-2+3＜2x+m对x∈（0，

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）恒成立，
即m＞x²-x+1对x∈（0，

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）恒成立．
令h（x）=x²-x+1，对称轴为x=

1

2

，所以h（x）在（0，

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）上为减函数，
所以h（x）＜h（0）=1．所以m≥1．故B=[1，+∞）．
所以C_RA=（-3，5），
则B∩（?_RA）=[1，+∞）∩（-3，5）=[1，5）．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了分类讨论得数学思想，利用分离变量法求参数的范围是解决该题的关键，考查了交、并、补集的混合运算，此题是中档题．