Question

已知函数．
（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）的最小值为-2，求实数k的值；
（3）若对任意的x₁，x₂，x₃∈R，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）问题等价于4^x+k•2^x+1＞0恒成立，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；
（2），令，则，分k＞1，k=1，k＜1三种情况进行讨论求出f（x）的最小值，令其为-2即可解得k值；
（3）由题意，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意x₁，x₂，x₃∈R恒成立．当k=1时易判断；当k＞1，k＜1时转化为函数的最值问题解决即可，借助（2）问结论易求函数的最值；
解答：解：（1）因为4^x+2^x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4^x+k•2^x+1＞0恒成立，即k＞-2^x-2^-x恒成立，
因为-2^x-2^-x=-（2^x+2^-x）≤-2，当且仅当2^x=2^-x即x=0时取等号，
所以k＞-2；
（2），
令，则，
当k＞1时，无最小值，舍去；
当k=1时，y=1最小值不是-2，舍去；
当k＜1时，，最小值为，
综上所述，k=-8．
（3）由题意，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意x₁，x₂，x₃∈R恒成立．
当k＞1时，因且，
故，即1＜k≤4；
当k=1时，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，满足条件；
当k＜1时，且，故，解得；
综上所述，
点评：本题考查复合函数的单调性、函数恒成立、函数最值等问题，考查转化思想，综合性较强，难度较大．