Question

棱长为3，各面都为等边三角形的正四面体内任取一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d₁，d₂，d₃，d₄，则d₁+d₂+d₃+d₄的值为______．

Answer 1

由于正四面体的边长为3，
可得它的高为h=

6

3

×3=

6

如图，设正四面体ABCD内有一点P，根据题意得
V_A-BCD=V_P-ABC+V_P-ACD+V_P-ABD+V_P-BCD，即：

1

3

S_△BCD×

6

=

1

3

S_△ABC×d₁+

1

3

S_△ACD×d₂+

1

3

S_△ABD×d₃+

1

3

S_BCD×d₄
∵正四面体的各个面是全等的正三角形，
∴两边约去

1

3

S_△BCD，可得

6

=d₁+d₂+d₃+d₄
即d₁+d₂+d₃+d₄为定值

6

故答案为：

6