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已知椭圆W的中心在原点,焦点在X轴上,离心率为
6
3
,椭圆短轴的一个端点与两焦点构成的三角形的面积为2
2
,椭圆W的左焦点为F,过x轴的一点M(-3,0)任作一条斜率不为零的直线L与椭圆W交于不同的两点A、B,点A关于X轴的对称点为C.
(1)求椭圆W的方程;
(2)求证:
CF
FB
(λ∈R);
(3)求△MBC面积S的最大值.
分析:(Ⅰ)根据离心率,准线和a,b和c的关系,联立方程求得a,b和c.椭圆的方程可得.
(Ⅱ)可设直线l的方程为y=k(x+3),点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点C的坐标为(x1,-y1),y1=k(x1+3),y2=k(x2+3).进而根据椭圆的第二定义得,判断出B,F,C三点共线,
(Ⅲ)根据三角形面积公式求得S的表达式,根据k的范围确定S的范围.
解答:精英家教网解:(Ⅰ)设椭圆W的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,由题意可知
c
a
=
6
3
1
2
×2cb=2
2
,解得a=
6
,b=
2
,c=2

所以椭圆W的方程为
x2
6
+
y2
2
=1


(Ⅱ)点M坐标为(-3,0),于是可设直线l的方程为y=k(x+3),点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则点C的坐标为(x1,-y1),y1=k(x1+3),y2=k(x2+3),由椭圆的第二定义可得
|FB|
|FC|
=
x2+3
x1+3
=
|y2|
|y1|

所以B,F,C三点共线,即
CF
FB
(λ∈R).
(Ⅲ)由题意知S=
1
2
|MF||y1|+
1
2
|MF||y2|=
1
2
|MF||y1+y2|
=
1
2
|MF||k(x1+x2)+6k|


又由M(-3,0),F(-2,0),则|MF|=1,S=
3|k|
1+3k2
=
3
1
|k|
+3|k|
3
2
3
=
3
2

当且仅当k2=
1
3
时,“=”成立,
所以△MBC面积S的最大值为
3
2
点评:本题主要考查了椭圆的方程和性质,以及直线与椭圆的位置关系,知识点多,复杂难懂,应熟练掌握椭圆的一些基本性质.
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已知椭圆w的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,离心率为
6
3
,△ABC的顶点A,B在椭圆w上,C在直线l:y=x+2上,且AB∥l.
(1)求椭圆w的方程;
(2)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;
(3)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.

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6
3
,两条准线间的距离为6.椭圆W的左焦点为F,过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交于不同的两点A、B,点A关于x轴的对称点为C.
(Ⅰ)求椭圆W的方程;
(Ⅱ)求证:
CF
FB
(λ∈R);
(Ⅲ)求△MBC面积S的最大值.

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6
3
,焦距为4,椭圆W的左焦点为F,过点M(-3,0)任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交于不同的两点A、B,点A关于x轴的对称点为C.
(1)求椭圆W的方程;
(2)
CF
FB
(λ∈R)是否成立?并说明理由;
(3)求△MBC面积S的最大值.

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(2012•南宁模拟)已知椭圆W的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
6
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,两条准线间的距离为6,椭圆的左焦点为F,过左焦点与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交于不同的两点A、B,点A关于x轴的对称点为C.
(1)求椭圆W的方程;
(2)求证:
CF
FB
(λ∈R)

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