Question

已知函数，

（1）若x=1时取得极值，求实数的值；

（2）当时，求在上的最小值；

（3）若对任意，直线都不是曲线的切线，求实数的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）符合。

（2） ；

（3）.

【解析】

试题分析：（1）∵，∴，得          

当时， ； 当时，。

∴在时取得极小值，故符合。               4分       

（2）当时，对恒成立，在上单调递增，

∴                          

当时，由得，

若，则，∴在上单调递减。

若，则，∴在上单调递增。          

∴在时取得极小值，也是最小值，即。

综上所述，        8分           

（3）∵任意，直线都不是曲线的切线，

∴对恒成立，即的最小值大于，

而的最小值为，∴，故.  12分

考点：利用导数研究函数的单调性、极值，导数的几何意义。

点评：中档题，利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”。确定函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决。