Question

（2013•东莞一模）已知函数f（x）=lnx-

a

x

，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数h（x）=x²-mx+4，当a=2时，若?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)=

x+a

x2

，当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞-a；由f′（x）＜0，得x＜-a．由此能够判断f（x）的单调性．
（Ⅱ）由g（x）=ax-

a

x

-5lnx，定义域为（0，+∞），知g′(x)=a+

a

x2

-

5

x

=

ax2-5x+a

x2

，因为g（x）在其定义域内为增函数，所以?x∈（0，+∞），g′（x）≥0，由此能够求出正实数a的取值范围．
（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x-

2

x

-5lnx，g′(x)=

2x2-5x+2

x2

，由g′（x）=0，得x=

1

2

或x=2．当x∈(0，

1

2

)时，g′（x）≥0当x∈(

1

2

，1)时，g′（x）＜0．所以在（0，1）上，g(x)max=g(

1

2

 )=-3+5ln2，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)=

x+a

x2

，
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；
②当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞-a；由f′（x）＜0，得x＜-a；
故f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）g（x）=ax-

a

x

-5lnx，g（x）的定义域为（0，+∞），
g′(x)=a+

a

x2

-

5

x

=

ax2-5x+a

x2

，
因为g（x）在其定义域内为增函数，所以?x∈（0，+∞），g′（x）≥0，
∴ax²-5x+a≥0，
∴a（x²+1）≥5x，
即a≥

5x

x2+1

，
∴a≥[

5x

x2+1

]max．
∵

5x

x2+1

=

5

x+ 1 x

≤

5

2

，当且仅当x=1时取等号，
所以a≥

5

2

．
（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x-

2

x

-5lnx，g′(x)=

2x2-5x+2

x2

，
由g′（x）=0，得x=

1

2

或x=2．
当x∈(0，

1

2

)时，g′（x）≥0；当x∈(

1

2

，1)时，g′（x）＜0．
所以在（0，1）上，g(x)max=g(

1

2

 )=-3+5ln2，
而“?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立”等价于
“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，
所以有

g( 1 2 )≥h(1) g( 1 2 ) ≥h(2)

，
∴

-3+5ln2≥5-m -3+5ln2≥8-2m

，
∴

m≥8-5ln2 m≥ 1 2 (11-5ln2)

，
解得m≥8-5ln2，
所以实数m的取值范围是[8-5ln2，+∞）．

点评：本题考查在闭区间上求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．