Question

设圆x²+y²=1的切线与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线的方程为

x+y-

2

=0

．

Answer 1

分析：根据圆的切线与x轴，y轴交点分别为A和B，设出两点的坐标，进而得出切线的截距式方程，且根据勾股定理表示出|AB|，由直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设切线的距离d，使d等于圆的半径r，化简可得a与b的关系式，利用此关系式把|AB|²进行变形，利用基本不等式求出|AB|²的最小值，且得到取最小值时a与b的值，把此时a与b的值代入所设的方程中，即可确定出切线的方程．

解答：解：设A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
则切线的方程为

x

a

+

y

b

=1，|AB|=

a2+b2

，
又圆x²+y²=1的圆心坐标为（0，0），半径r=1，
由圆心到直线的距离d=

1

( 1 a )2+( 1 b )2

=r=1得：

1

a2

+

1

b2

=1，
则|AB|²=（a²+b²）（

1

a2

+

1

b2

）=2+

b2

a2

+

a2

b2

≥4，
当且仅当a=b=

2

时，上式取等号，故|AB|_min=2，
则此时切线的方程为x+y-

2

=0．
故答案为：x+y-

2

=0

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线的截距式方程，点到直线的距离公式，以及基本不等式，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握这一性质是解本题的关键．