Question

已知函数f（x）在R上满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（1）=2．
（1）求f（0）、f（3）的值；
（2）判定f（x）的单调性；
（3）若f（4^x-a）+f（6+2^x+1）＞6对任意x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，可得f（0）=0，再令x=y=1，可得f（2）=4，再x=2，y=1，则有f（3）=6，
（2）用定义判定f（x）的单调性；
（3）利用f（x）的单调性，原不等式转化为4^x+2×2^x+3＞a恒成立，构造函数g（x）=4^x+2×2^x+3=（2^x+1）²+2，求出函数最值即可．

解答： 解：（1）∵对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，则有f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0，
令x=y=1，则有f（2）=f（1）+f（1），
∴f（2）=4，
令x=2，y=1，则有f（3）=f（2）+f（1），
∴f（3）=6；
（2）任取x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，又x＞0时，f（x）＞0，
则有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数；
（3）f（4^x-a）+f（6+2^x+1）＞6恒成立，
由已知及（1）即为f（4^x-a）+f（6+2^x+1）＞f（3）恒成立
∵f（x）是R上的增函数，
∴4^x-a+6+2^x+1＞3恒成立，即4^x+2×2^x+3＞a恒成立，
令g（x）=4^x+2×2^x+3=（2^x+1）²+2
∵2^x＞0，
∴g（x）＞3，
∴a≤3，
即实数a的取值范围为（-∞，3]

点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性的判定以及应用问题，是中档题．