Question

18．已知集合A={x|0＜$\frac{x-1}{3}$≤1}，B={y|y=（$\frac{1}{2}$）^x，且x＜-1}
（1）若集合C={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，求集合C；
（2）设集合D={x|3-a＜x＜2a-1}，满足A∪D=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简集合A，B，利用集合C={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，求集合C；
（2）设集合D={x|3-a＜x＜2a-1}，满足A∪D=A，D⊆A，分类讨论求实数a的取值范围．

解答 解：（1）集合A={x|0＜$\frac{x-1}{3}$≤1}=（1，4]，B={y|y=（$\frac{1}{2}$）^x，且x＜-1}=（2，+∞）；
∴A∪B=（1，+∞）；A∩B=（2，4]，
∴集合C={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}=（1，2]∪（4，+∞）；
（2）∵A∪D=A，
∴D⊆A
D=∅，3-a≥2a-1，∴a≤$\frac{4}{3}$，
D≠∅，$\left\{\begin{array}{l}{3-a＜2a-1}\\{3-a≥1}\\{2a-1≤4}\end{array}\right.$，∴$\frac{4}{3}$＜a≤2．
综上，a≤2

点评 本题考查集合的运算与关系，考查集合的化简，正确计算是关键．