Question

9．已知α，β均为锐角，且3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，则α+2β的值为π．

Answer 1

分析 将已知两等式分别平方，左右两边相加求出cos（α+β）的值，再由已知两等式表示出sinβ与cosβ，代入化简得到的式子中求出cosα与cosβ的值，得到cos（α+β）=-cosβ，根据α，β均为锐角，化简即可求出α+2β的值．

解答 解：由3sinα=2sinβ，得sinβ=$\frac{3}{2}$sinα，由3cosα+2cosβ=3，得cosβ=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$cosα，
将3sinα-2sinβ=0，两边平方得：（3sinα-2sinβ）²=0，
整理得：9sin²α-12sinαsinβ+4sin²β=0①，
同理，将3cosα+2cosβ=3，两边平方得：（3cosα+2cosβ）²=9，
整理得：9cos²α+12cosαcosβ+4cos²β=9②，
两式相加得9sin²α-12sinαsinβ+4sin²β+9cos²α+12cosαcosβ+4cos²β=9
整理得：13+12（cosαcosβ-sinαsinβ）=9，
即cosαcosβ-sinαsinβ=-$\frac{1}{3}$，即cos（α+β）=-$\frac{1}{3}$，
将sinβ=$\frac{3}{2}$sinα，cosβ=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$cosα代入得：cosα（$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$cosα）-$\frac{3}{2}$sin²α=-$\frac{1}{3}$，
整理得：$\frac{3}{2}$cosα-$\frac{3}{2}$cos²α-$\frac{3}{2}$（1-cos²α）=-$\frac{1}{3}$，
解得：cosα=$\frac{7}{9}$，cosβ=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$cosα=$\frac{1}{3}$，
即cos（α+β）=-cosβ，
∵α、β∈（0，$\frac{π}{2}$），∴α+β∈（0，π），
∴cos（α+β）=cos（π-β），即α+β=π-β，
则α+2β=π．
故答案为：π．

点评 此题考查了二倍角公式，同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题．