Question

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB=AA₁=a，BC=a，M、N分别是AD、BC的中点.

(Ⅰ)求证：B₁N∥平面A₁MB；

(Ⅱ)求二面角A₁-MB-A的大小；

(Ⅲ)求点A到平面A_lMB的距离.

Answer 1

答案：解法一：(Ⅰ)连接MN,在长方体中,M、N分别是AD、BC的中点,

∴A₁B₁∥MN,A₁B₁=MN,∴四边形A₁B₁MN是平行四边形,∴A₁M∥B₁N, 

∵A₁M平面A₁MB,B₁N平面A₁MB∴B₁N∥平面A₁MB. 

(Ⅱ)如图过A点作AE⊥MB于E,连结A₁E,

∵AA₁⊥平面ABCD,则AE是A₁E在平面ABCD上的射影,由三垂线定理知：A₁E⊥MB,

∴∠A₁EA是二面角A₁-MB-A的平面角,

在Rt△AMB中,BM=,由AE·MB=AM·AB,则AE=,

在Rt△A₁AE中,tan∠A₁EA=. 

∴∠A₁EA=,即二面角A₁-MB-A的大小是. 

(Ⅲ)过A作AH⊥A₁E于点H,由(Ⅱ)知,MB⊥面A₁AE,又MB面A₁MB, 

∴面A₁AE⊥面A₁MB,且面A₁AE∩面A₁MB=A₁E,则AH⊥面A₁MB,∴AH是点A到平面A₁MB的距离 

在Rt△A₁HE中,AH=AE·sin∠AEA₁=a·=, 

∴点A到平面A₁MB的距离是. 

解法二：(Ⅰ)以D为原点,以射线DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、M(,0,0).D₁(0,0,a)、A₁(a,0,a)、B₁(a,a,a)、N(a,a,0) 

∴=(a,0,-a),=(-a,0,-a),故=,即∥, 

∵而B₁N在平面A₁MB内,A₁M在平面A₁MB外,∴B₁N∥平面A₁MB；

(Ⅱ)设=(0,0,a)是平面AMB的一个法向量, 

∴=(0,-a,a),=(a,0,a),设n=(x,y,1)是平面A₁MB的一个法向量,

则,解得,∴n=(-,1,1),

∵二面角A₁-MB-A的大小即是n与的夹角,

∴cos〈n,〉=, 

∴n与的夹角是60°,即二面角A₁-MB-A的大小是60°；

(Ⅲ)∵=(,0,0)且平面A₁MB的法向量n=(-,1,1),

∴点A到平面A₁MB的距离是.