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如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=AA1=a,BC=a,M、N分别是AD、BC的中点.

(Ⅰ)求证:B1N∥平面A1MB;

(Ⅱ)求二面角A1-MB-A的大小;

(Ⅲ)求点A到平面AlMB的距离.

答案:解法一:(Ⅰ)连接MN,在长方体中,M、N分别是AD、BC的中点,

∴A1B1∥MN,A1B1=MN,∴四边形A1B1MN是平行四边形,∴A1M∥B1N, 

∵A1M平面A1MB,B1N平面A1MB∴B1N∥平面A1MB. 

(Ⅱ)如图过A点作AE⊥MB于E,连结A1E,

∵AA1⊥平面ABCD,则AE是A1E在平面ABCD上的射影,由三垂线定理知:A1E⊥MB,

∴∠A1EA是二面角A1-MB-A的平面角,

在Rt△AMB中,BM=,由AE·MB=AM·AB,则AE=,

在Rt△A1AE中,tan∠A1EA=

∴∠A1EA=,即二面角A1-MB-A的大小是

(Ⅲ)过A作AH⊥A1E于点H,由(Ⅱ)知,MB⊥面A1AE,又MB面A1MB, 

∴面A1AE⊥面A1MB,且面A1AE∩面A1MB=A1E,则AH⊥面A1MB,∴AH是点A到平面A1MB的距离 

在Rt△A1HE中,AH=AE·sin∠AEA1==

∴点A到平面A1MB的距离是

解法二:(Ⅰ)以D为原点,以射线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、M(,0,0).D1(0,0,a)、A1(a,0,a)、B1(a,a,a)、N(a,a,0) 

=(a,0,-a),=(-a,0,-a),故=,即

∵而B1N在平面A1MB内,A1M在平面A1MB外,∴B1N∥平面A1MB;

(Ⅱ)设=(0,0,a)是平面AMB的一个法向量, 

=(0,-a,a),=(a,0,a),设n=(x,y,1)是平面A1MB的一个法向量,

,解得,∴n=(-,1,1),

∵二面角A1-MB-A的大小即是n的夹角,

∴cos〈n,〉=

∴n与的夹角是60°,即二面角A1-MB-A的大小是60°;

(Ⅲ)∵=(,0,0)且平面A1MB的法向量n=(-,1,1),

∴点A到平面A1MB的距离是.

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A.         B.               C.                 D.1

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(2)当EAB的中点时,求点E到面ACD1的距离;

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(理科做)(本题满分14分)

     如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB = 90°,CB = 1,

CA =AA1 =M为侧棱CC1上一点,AMBA1

   (Ⅰ)求证:AM⊥平面A1BC

   (Ⅱ)求二面角BAMC的大小;

   (Ⅲ)求点C到平面ABM的距离.

 

 

 

 

 

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