(Ⅰ)求证:B1N∥平面A1MB;
(Ⅱ)求二面角A1-MB-A的大小;
(Ⅲ)求点A到平面AlMB的距离.
答案:解法一:(Ⅰ)连接MN,在长方体中,M、N分别是AD、BC的中点,
∴A1B1∥MN,A1B1=MN,∴四边形A1B1MN是平行四边形,∴A1M∥B1N,
∵A1M平面A1MB,B1N平面A1MB∴B1N∥平面A1MB.
(Ⅱ)如图过A点作AE⊥MB于E,连结A1E,
∵AA1⊥平面ABCD,则AE是A1E在平面ABCD上的射影,由三垂线定理知:A1E⊥MB,
∴∠A1EA是二面角A1-MB-A的平面角,
在Rt△AMB中,BM=,由AE·MB=AM·AB,则AE=,
在Rt△A1AE中,tan∠A1EA=.
∴∠A1EA=,即二面角A1-MB-A的大小是.
(Ⅲ)过A作AH⊥A1E于点H,由(Ⅱ)知,MB⊥面A1AE,又MB面A1MB,
∴面A1AE⊥面A1MB,且面A1AE∩面A1MB=A1E,则AH⊥面A1MB,∴AH是点A到平面A1MB的距离
在Rt△A1HE中,AH=AE·sin∠AEA1=a·=,
∴点A到平面A1MB的距离是.
解法二:(Ⅰ)以D为原点,以射线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、M(,0,0).D1(0,0,a)、A1(a,0,a)、B1(a,a,a)、N(a,a,0)
∴=(a,0,-a),=(-a,0,-a),故=,即∥,
∵而B1N在平面A1MB内,A1M在平面A1MB外,∴B1N∥平面A1MB;
(Ⅱ)设=(0,0,a)是平面AMB的一个法向量,
∴=(0,-a,a),=(a,0,a),设n=(x,y,1)是平面A1MB的一个法向量,
则,解得,∴n=(-,1,1),
∵二面角A1-MB-A的大小即是n与的夹角,
∴cos〈n,〉=,
∴n与的夹角是60°,即二面角A1-MB-A的大小是60°;
(Ⅲ)∵=(,0,0)且平面A1MB的法向量n=(-,1,1),
∴点A到平面A1MB的距离是.
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A. B. C. D.1
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A. B. C. D.1
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科目:高中数学 来源:2010-2011年四川省成都市高二3月月考数学试卷 题型:填空题
(文科做)(本题满分14分)如图,在长方体
ABCD—A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(1)证明:D1E⊥A1D;
(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;
(3)AE等于何值时,二面角D1—EC-D的大小为.
(理科做)(本题满分14分)
如图,在直三棱柱ABC – A1B1C1中,∠ACB = 90°,CB = 1,
CA =,AA1 =,M为侧棱CC1上一点,AM⊥BA1.
(Ⅰ)求证:AM⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求二面角B – AM – C的大小;
(Ⅲ)求点C到平面ABM的距离.
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