Question

4．数列{a_n}的前n项和为S_n，满足点（a_n，S_n）在直线y=2x+1上．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得S_n=2a_n+1，运用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，即可得到所求通项公式；
（2）求出na_n=-n•2^n-1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）由题意可得S_n=2a_n+1，
当n=1时，a₁=S₁=2a₁+1，解得a₁=-1，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+1-2a_n-1-1，
化简可得a_n=2a_n-1，
即有a_n=-2^n-1（n∈N^*）；
（2）na_n=-n•2^n-1，
即有前n项和T_n=-（1•1+2•2+3•4+…+n•2^n-1），
2T_n=-（1•2+2•4+3•8+…+n•2ⁿ），
两式相减可得，-T_n=-（1+2+4+…+2^n-1-n•2ⁿ）
=-（$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ），
化简可得前n项和T_n=（1-n）•2ⁿ-1．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，考查数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．