Question

设数列{a_n}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)^k－1k，…，(－1)^k－1k，…，即当<n≤(k∈N^*)时，a_n＝(－1)^k－1k，记S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n(n∈N^*)．对于l∈N^*，定义集合P_l＝{n|S_n是a_n的整数倍，n∈N^*，且1≤n≤l}．
(1)求集合P₁₁中元素的个数；
(2)求集合P_{2 000}中元素的个数．

Answer 1

(1)5  (2) 1 008

解　(1)由数列{a_n}的定义得a₁＝1，a₂＝－2，a₃＝－2，a₄＝3，a₅＝3，a₆＝3，a₇＝－4，a₈＝－4，a₉＝－4，a₁₀＝－4，a₁₁＝5，所以S₁＝1，S₂＝－1，S₃＝－3，S₄＝0，S₅＝3，S₆＝6，S₇＝2，S₈＝－2，S₉＝－6，S₁₀＝－10，S₁₁＝－5，从而S₁＝a₁，S₄＝0×a₄，S₅＝a₅，S₆＝2a₆，S₁₁＝－a₁₁，所以集合P₁₁中元素的个数为5.
(2)先证：S_i(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N^*)．
事实上，①当i＝1时，S_i(2i＋1)＝S₃＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立；
②假设i＝m时成立，即S_m(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则i＝m＋1时 ，S_{(m＋1)(2m＋3)}＝S_m(2m＋1)＋(2m＋1)²－(2m＋2)²＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m²＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．
综合①②可得S_i(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是
S_{(i＋1)(2i＋1)}＝S_i(2i＋1)＋(2i＋1)²＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)²＝(2i＋1)(i＋1)．
由上可知S_i(2i＋1)是2i＋1的倍数，而a_{i(2i＋1)＋j}＝2i＋1(j＝1,2，…，2i＋1)，所以S_{i(2i＋1)＋j}＝S_i(2i＋1)＋j(2i＋1)是a_{i(2i＋1)＋j}(j＝1,2，…，2i＋1)的倍数．又S_{(i＋1)(2i＋1)}＝(i＋1)·(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a_{(i＋1)(2i＋1)＋j}＝－(2i＋2)(j＝1,2，…，2i＋2)，所以S_{(i＋1)(2i＋1)＋j}＝S_{(i＋1)(2i＋1)}－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a_{(i＋1)(2i＋1)＋j}(j＝1,2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合P_l中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i²，于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合P_l中元素的个数为i²＋j.
又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P_{2 000}中元素的个数为31²＋47＝1 008.