Question

10、已知在正三棱锥P-ABC中，M，N分别为PA，BC中点，G为MN中点，求证：PG⊥BC．

Answer 1

分析：要证明PG⊥BC，可以先证明BC⊥平面PMN，而要证明BC⊥平面PMN，我们可以证明BC与平面PMN中的两条相交直线PN，MN都垂直，由于三棱锥P-ABC为正三棱锥我们不难根据等腰三角形的性质，得到结论．

解答：证明：∵三棱锥P-ABC为正三棱锥
∴PB=PC
又∵N为BC中点，则PN⊥BC
又∵侧面PAB≌侧面PAC
∴MB=MC
∴MN⊥BC
又∵MN∩PN=N
∴BC⊥平面PMN
又∵PG?平面PMN
∴PG⊥BC

点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．