Question

已知m＞0，讨论函数f（x）=

mx2+3(m+1)x+3m+6

ex

的单调性．

Answer 1

分析：先求出f′（x）因为m的取值决定了f′（x）的正负，所以分两种情况讨论m的取值范围即可得到函数单调区间即可．

解答：解：f′(x)=

-mx2-(m+3)x-3

ex

，
设g（x）=-mx²-（m+3）x-3，令g（x）=0，得x1=-

3

m

，x₂=-1．
①当0＜m＜3时，x₁＜x₂，x，f′（x）与f（x）的变化情况如下：

x	（-∞，- 3 m ）	- 3 m	（- 3 m ，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

∴f（x）在区间（-∞，-

3

m

），（-1，+∞）上是减函数，在区间（-

3

m

，-1）上是增函数．
②当m=3时，x₁=x₂，在区间（-∞，-1），（-1，+∞）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在区间（-∞，+∞）上是减函数．
③当m＞3时，x₁＞x₂，x，f′（x）与f（x）的变化情况如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，- 3 m ）	- 3 m	（- 3 m ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

∴f（x）在区间（-∞，-1），（-

3

m

，+∞）上是减函数，在区间（-1，-

3

m

）上是增函数．

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性，属于中档题．