精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(2013•莱芜二模)已知定点A(
p2
,0)
(p为常数,p>O),B为x轴负半轴上的一个动点,动点M使得|AM|=|AB|,且线段BM的中点在y轴上.
(I)求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴),其垂直平分线与x轴交于点T(4,0),当p=2时,求|EF|的最大值.
分析:(Ⅰ)设出动点M的坐标,由题意把B和G用M的坐标表示,根据|AM|=|AB|,可知GA⊥GM,写出对应的向量的坐标,由数量积等于0列式可得M的轨迹C的方程,注意M在x轴上时不合题意; 
(Ⅱ)设出EF所在直线方程y=kx+b,和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程,利用根与系数关系求出EF中点的坐标,写出其垂直平分线方程,由垂直平分线过点T(4,0),得到k和b的关系,用k表示b,由方程的判别式大于0求出k的范围,由弦长公式写出EF的长度,最后利用配方法球最值.
解答:解:如图,

(Ⅰ)设M(x,y),则BM的中点G的坐标为(0,
y
2
)
,B(-x,0).
又A(
p
2
,0
),故
GA
=(
p
2
,-
y
2
),
GM
=(x,
y
2
)

由题意知GA⊥GM,所以
GA
GM
=
px
2
-
y2
4
=0

所以y2=2px.
当M点在x轴上时不满足题意,故曲线C的方程为y2=2px(p>0,x≠0);
(Ⅱ)设弦EF所在直线方程为y=kx+b,E(x1,y1),F(x2,y2).
y=kx+b
y2=4x
,得:k2x2+(2kb-4)x+b2=0①
x1+x2=
4-2kb
k2
x1x2=
b2
k2

则线段EF的中点为(
2-kb
k2
2-kb
k
+b)
,即(
2-kb
k2
2
k
)

线段EF的垂直平分线方程为y-
2
k
=-
1
k
(x-
2-kb
k2
)

令y=0,x=4,得-
2
k
=-
1
k
(4-
2-kb
k2
)
,得bk=2-k2,所以b=
2-k2
k

所以|EF|2=(1+k2)•(x1-x2)2=(1+k2)•[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)[(
4-2kb
k2
)2-
4b2
k2
]=16(1+k2)•
1-kb
k4

=16(1+k2)•
2k2-1
k4
=16(-
1
k4
+
1
k2
+2)=-16(
1
k2
-
1
2
)2+36

再由①,△=(2kb-4)2-4k2b2=4k2b2-16kb+16-4k2b2=16-16kb
=16-16(2-2k2)=32k2-16>0.
得:k2
1
2
,即0<
1
k2
<2

所以,当
1
k2
=
1
2
,即k=±
2
时,|EF|2取得最大值,最大值等于36,即|EF|的最大值为6.
点评:本题考查了抛物线的标准方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.属难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•莱芜二模)已知函数f(x)=x-4+
9
x+1
(x>-1)
,当x=a时,f(x)取得最小值,则在直角坐标系中,函数g(x)=(
1
a
)|x+1|
的大致图象为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•莱芜二模)复数z=
i3
1+i
在复平面内对应的点位于(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•莱芜二模)集合A={x||x+1|≤3},B={y|y=
x
,0≤x≤4}
.则下列关系正确的是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•莱芜二模)已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的实轴长为2,焦距为4,则该双曲线的渐近线方程是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•莱芜二模)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,给出四个命题:
①若α∩β=m,n?α,n⊥m,则α⊥β
②若m⊥α,m⊥β,则α∥β
③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β
④若m∥α,n∥βm∥n,则α∥β
其中正确的命题是(  )

查看答案和解析>>

同步练习册答案