Question

已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2.

（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；

（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）以O为原点，分别为x，y，z轴建立直角坐标系, M（0，0，1）F（，0，1）=（，0，0）, MF⊥平面,所以平面AEF⊥平面（2）

【解析】

试题分析：（1）以O为原点，分别为x，y，z轴建立直角坐标系，

由条件知：EC=BC=2，FB=1，OA=1，OB=，

从而坐标E（0，1，2），F（，0，1）.

（1）连结AE与交于M，连结MF，

可得，M（0，0，1），

=（，0，0）.

则MF⊥平面yOz，即MF⊥平面，

所以平面AEF⊥平面.

（2）取EC中点G，得平面MFG∥底面ABCD，

所以只要求面AEF与面MFG所成的二面角即可.

，

即，可见是面AEF与面MFG所成二面角的平面角.

在Rt△MGE中，EG=1，MG=1，ME=，显然，所求二面角为.

考点：面面垂直的判定与二面角求解

点评：本题利用向量求解较简单，坐标原点在底面对角线交点处