Question

（2013•朝阳区一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1．E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC上的任意一点．
（Ⅰ）若F为PC的中点，求证：面EFP⊥平面PAB；
（Ⅱ）求证：平面AFD⊥平面PAB；
（Ⅲ）是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由三角形中位线定理结合BC∥AD，证出EF∥AD．利用面面垂直性质定理，证出PA⊥平面ABCD，得PA⊥AD．
结合AB⊥AD得到AD⊥平面PAB，从而可得EF⊥平面PAB．最后根据面面垂直判定定理，可得平面EFP⊥平面PAB．
（II）根据平面ABCD⊥平面PAC和PA⊥AC，证出PA⊥平面ABCD，得PA⊥AD，结合AB⊥AD证出AD⊥平面PAB，利用面面垂直判定定理，可得平面AFD⊥平面PAB．
（III）过点A作AF⊥PC于F，根据平面几何知识，结合题中数据算出CD⊥AC，结合（Ⅱ）的结论证出PA⊥CD，可得CD⊥平面PAC，得到CD⊥AF，从而证出AF⊥平面PCD．最后在△PAC中利用勾股定理和等积转换算出PF=

2 6

3

，即可得到PC上存在点F使得直线AF与平面PCD垂直．

解答：解：（Ⅰ）∵E、F分别为侧棱PB、PC的中点，∴EF∥BC．
∵BC∥AD，∴EF∥AD．
∵面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，面PAC∩平面ABCD=AC，
∴PA⊥平面ABCD，结合AD?平面ABCD，得PA⊥AD．
又∵AB⊥AD，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，可得EF⊥平面PAB．
∴结合EF?平面EFP，得平面EFP⊥平面PAB．    …（4分）
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面PAC，
平面ABCD∩平面PAC=AC，且PA⊥AC，PA?平面PAC．
∴PA⊥平面ABCD，结合AD?平面ABCD，得PA⊥AD．
又∵AB⊥AD，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，
∵AD?平面AFD，
∴平面AFD⊥平面PAB．…（8分）
（Ⅲ）存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直．
平面PCA中，过点A作AF⊥PC，垂足为F
∵由已知AB⊥AD，BC∥AD，AB=BC=1，AD=2．
∴根据平面几何知识，可得CD⊥AC．
又∵由（Ⅱ）PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，且PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，结合AF?平面PAC，得CD⊥AF．
又∵CD∩PC=C，∴AF⊥平面PCD．
在△PAC中，PA=2，AC=

2

，∠PAC=90°，
∴PC=

PA2+AC2

=

6

，PF=

PA•AC

PC

=

2 6

3

．
∴PC上存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直，此时线段PF的长为

2 6

3

．…（14分）

点评：本题在特殊四棱锥中求证线面垂直和面面垂直，并求线段的长度．着重考查直线和平面垂直的判定和性质，两个平面垂直的判定定理的应用等知识，属于中档题．