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已知曲线C:f(x)=
1
3
x3+
4
3

(1)求曲线在点(2,4)处的切线方程;
(2)求过点(2,4)的切线方程.
分析:(1)根据曲线的解析式求出导函数,把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率,根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可;
(2)设出曲线过点P切线方程的切点坐标,把切点的横坐标代入到(1)求出的导函数中即可表示出切线的斜率,根据切点坐标和表示出的斜率,写出切线的方程,把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程,求出方程的解即可得到切点横坐标的值,分别代入所设的切线方程即可.
解答:解:(1)∵P(2,4)在曲线 y=
1
3
x3+
4
3
上,且y'=x2
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y'|x=2=4;
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)设曲线 y=
1
3
x3+
4
3
与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0
1
3
x
 
3
0
+
4
3
),
则切线的斜率 k=y′|x=x0=x02,
∴切线方程为y-(
1
3
x
 
3
0
+
4
3
)=x02(x-x0),
即 y=x
 
2
0
•x-
2
3
x
 
3
0
+
4
3

∵点P(2,4)在切线上,
∴4=2x02-
2
3
x
 
3
0
+
4
3

即x03-3x02+4=0,
∴x03+x02-4x02+4=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0
解得x0=-1或x0=2
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
点评:此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程,是一道综合题.学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”,还是“过某点的切线”;同时解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标解决.
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π2
)+ex+2
,则在x=0处切线方程为
 

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(2013•徐州三模)已知曲线C:f(x)=x+
a
x
(a>0)
,直线l:y=x,在曲线C上有一个动点P,过点P分别作直线l和y轴的垂线,垂足分别为A,B.再过点P作曲线C的切线,分别与直线l和y轴相交于点M,N,O是坐标原点.若△ABP的面积为
1
2
,则△OMN的面积为
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