Question

(2007 江苏淮阴)已知动圆过定点P(1，0)，且与定直线l:x=－1相切，点C在l上．

(1)求动圆圆心的轨迹M的方程．

(2)设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A、B两点．

①问：△ABC能否为正三角形?若能，求点C的坐标；若不能，说明理由．

②当△ABC为钝角三角形时，求这时点C的纵坐标的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

如下图，(1)设M(x，y)，依题意有，．化简得：． (2)①依题意得，直线AB的方程为．由消y得，解得，．所以A点坐标为，B点坐标为，． 假设存在点C(－1，y)，使△ABC为正三角形，则且，即 由①－②得，解得． 但不符合①， 所以由①，②组成的方程组无解． 因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形． ②解法一：设C(－1，y)使△ABC成纯角三角形，由得， 即当点C的坐标为时，A、B、C三点共线，故． 又， ，． 当∠CAB为钝角时，． 即， 即，即时，∠CAB为钝角． 当，即 ，即时，∠CBA为钝角． 又，即，，． 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角． 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是 或． 解法二：以AB为直径的圆的方程为． 圆心到直线l:x=－1的距离为，所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点． 当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不可能是钝角． 因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角． 过点A且与AB垂直的直线方程为． 令x=－1得． 过点B且与AB垂直的直线方程为． 令x=－1得． 又由解得， 所以，当点C的坐标为(－1，)时，A、B、C三点共线，不构成三角形． 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是或．