【题目】已知A,B为椭圆上的两个动点,满足
.
(1)求证:原点O到直线AB的距离为定值;
(2)求的最大值;
(3)求过点O,且分别以OA,OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)当直线AB的斜率不存在时,将代入椭圆方程可得
,即可得原点O到直线AB的距离为
;当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为
,
,
,与椭圆方程联立,可得
,又
,则
,利用韦达定理代入化简可得
,则原点O到直线AB的距离
,故原点O到直线AB的距离为定值;
(2)由(1)可得,又
且
,即可得
的最大值;
(3)如图所示,过点O,且分别以OA,OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹满足:,
,可得P,A,B三点共线. 由(1)可知:原点O到直线AB的距离为定值
,即可得点
的轨迹方程.
(1)证明:当直线AB的斜率不存在时,由代入椭圆方程可得:
,解得
,此时原点O到直线AB的距离为
.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为,
,
.
联立,化为
,
,则
,
,
.
,
化为,
化为,
化为,
原点O到直线AB的距离
.
综上可得:原点O到直线AB的距离为定值.
(2)解:由(1)可得,
,
,
又,
当且仅当时取等号.
的最大值为
.
(3)解:如图所示,过点O,且分别以OA,OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹满足:,
.
因此P,A,B三点共线.
由(1)可知:原点O到直线AB的距离为定值.
分别以OA,OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ )的周期为π,且图象上的一个最低点为M(
).
(1)求f(x)的解析式及单调递增区间;
(2)当x∈[0,]时,求f(x)的值域.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】现有边长分别3,4,5的三角形两个,边长分别4,5,的三角形四个,边长分别为
,4,5的三角形六个.用上述三角形为面,可以拼成______个四面体.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出以下关于线性方程组解的个数的命题.
①,
②,
③,
④,
(1)方程组①可能有无穷多组解;
(2)方程组②可能有且只有两组不同的解;
(3)方程组③可能有且只有唯一一组解;
(4)方程组④可能有且只有唯一一组解.
其中真命题的序号为________________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
(1)当时,求该函数的定义域;
(2)当时,如果
对任何
都成立,求实数
的取值范围;
(3)若,将函数
的图像沿
轴方向平移,得到一个偶函数
的图像,设函数
的最大值为
,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知正项数列,
满足:对任意正整数
,都有
,
,
成等差数列,
,
,
成等比数列,且
,
.
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列,
的通项公式;
(Ⅲ)设=
+
+…+
,如果对任意的正整数
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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