Question

（本小题满分14分）已知，设函数．

（1）若在（0， 2）上无极值，求t的值；

（2）若存在，使得是在[0， 2]上的最大值，求t的取值范围；

（3）若为自然对数的底数）对任意恒成立时m的最大值为1，求t的取

值范围．

 

Answer 1

（1）t＝1；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）因为f '（x）＝（x－1）（x－t），要使得在（0， 2）上无极值，只有t＝1时，有f '（x）≥0恒成立；（2）由（1）知t＝1时，不满足条件，t≠1时，因为x＝1必定是极值点，对t的范围分类探究，找出使得f（1）或f（t）（t∈（0，2）时）为最大值的t的范围；（3）分离参数m，找出使得不等式恒成立的m的范围（与t相关），注意m的最大值为1，由此求出t的取值范围.

试题解析：（1）∵，又在（0， 2）无极值

3分

（2）①当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，

由得：在时无解

②当时，不合题意；

③当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，

即

④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件

综上所述：时，存在，使得是在[0，2]上的最大值. 8分

（3）若对任意恒成立

即对任意恒成立

令， 由于的最大值为1，

则恒成立，否则存在使得

则当，时，不恒成立.

由于，则 10分

当时，，则，若

则在上递减，在上递增，

则

在上是递增的函数

，满足条件

的取值范围是 14分

考点：利用导数研究函数性质，最值，范围，不等式恒成立问题，范围.