Question

（2013•广东）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，CD=BE=

2

，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′-BCDE，其中A′O=

3

．
（1）证明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′-CD-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，CD=BE=

2

，AD=AE=2

2

，CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A^′OD=∠A^′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A'F．利用（1）可知：A'O⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A'F⊥CD，所以∠A'FO为二面角A'-CD-B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；
方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA'分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．

解答：（1）证明：连接OD，OE．
因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，CD=BE=

2

，CO=BO=3．
在△COD中，OD=

CO2+CD2-2CO•CDcos45°

=

5

，同理得OE=

5

．
因为AD=A′D=A′E=AE=2

2

，A′O=

3

．
所以A'O²+OD²=A'D²，A'O²+OE²=A'E²．
所以∠A'OD=∠A'OE=90°
所以A'O⊥OD，A'O⊥OE，OD∩OE=O．
所以A'O⊥平面BCDE．
（2）方法一：
过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A'F
因为A'O⊥平面BCDE．
根据三垂线定理，有A'F⊥CD．
所以∠A'FO为二面角A'-CD-B的平面角．
在Rt△COF中，OF=COcos45°=

3 2

2

．
在Rt△A'OF中，A′F=

AO2+OF2

=

30

2

．
所以cos∠A′FO=

OF

A′F

=

15

5

．
所以二面角A'-CD-B的平面角的余弦值为

15

5

．
方法二：
取DE中点H，则OH⊥OB．
以O为坐标原点，OH、OB、OA'分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则O(0，0，0)，A′(0，0，

3

)，C(0，-3，0)，D(1，-2，0)

OA′

=(0，0，

3

)是平面BCDE的一个法向量．
设平面A'CD的法向量为n=（x，y，z）

CA′

=(0，3，

3

)，

CD

=(1，1，0)．
所以

n• CA′ =3y+ 3 z=0 n• CD =x+y=0

，令x=1，则y=-1，z=

3

．
所以n=(1，-1，

3

)是平面A'CD的一个法向量
设二面角A'-CD-B的平面角为θ，且θ∈(0，

π

2

)
所以cosθ=

OA′ •n

| OA′ |•|n|

=

3

3 × 5

=

15

5

所以二面角A'-CD-B的平面角的余弦值为

15

5

点评：本题综合考查了等腰直角三角形的性质、余弦定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定哩、二面角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力．