Question

已知动圆P过定点F（0，1），且与定直线y=-1相切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹W的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹W相交于A，B两点，若在直线y=-1上存在点C，使△ABC为正三角形，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设动圆圆心P（x，y），根据题意：点P（x，y）到点F（0，1）距离等于点P到定直线y=-1的距离，由此能求了动圆圆心P的轨迹W的方程．
（Ⅱ）设过点F的直线l的方程为y-1=kx，即y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．如果k=0，推导出|AB|+4，而|AC|==2，不符题意；如果k≠0，弦AB中点M（x，y）．则，得：x²-4kx-4=0，由此能求出直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）设动圆圆心P（x，y），
根据题意：点P（x，y）到点F（0，1）距离等于点P到定直线y=-1的距离，
即，（3分）
 故：动圆圆心P的轨迹W的方程为x²=4y．（5分）
（Ⅱ）显然，直线的斜率k存在，
设过点F的直线l的方程为y-1=kx，即y=kx+1，（6分）
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①如果k=0，，得A（-2，1），B（2，1），
故有|AB|+4，而|AC|==2，不符题意，所以k≠0．（7分）
②如果k≠0，弦AB中点M（x，y）．则，得：x²-4kx-4=0，
所以有：x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，（9分）
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=4k²+2，
x==2k，y==2k²+1，（11分），
即M（2k，2k²+1），
若在直线y=-1上存在点C，使△ABC为正三角形，
则设直线MC：y-（2k²+1）=-（x-2k）与y=-1联立，
解得x=4k+2k³，也就是C（4k+2k³，-1），
由，得=，（14分）
即k=，所以，直线l的方程为y=+1．（15分）
点评：本题考查圆心的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．