Question

销售甲，乙两种商品所得利润分别为P（万元）和Q（万元），它们与投入资金t（万元）的关系有经验公式P=

1

5

t，Q=

3

5

t

．今将3万元资金投入经营甲，乙两种商品，其中对甲种商品投资x万元
（1）试建立总利润y（万元）关于x的函数表达式
（2）求x为多少时，总利润y最大？并写出最大利润．

Answer 1

分析：（1）对甲种商品投资x（万元），对乙种商品投资（3-x）（万元），根据经验公式可得甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；
（2）（2）首先要对（1）的函数分析，设

3-x

=m，然后根据一元二次方程的求最值方法求解．

解答：解：（1）根据题意，对甲种商品投资x（万元），对乙种商品投资（3-x）（万元）．
根据经验公式可得y=

1

5

x+

3

5

3-x

，x∈[0，3]．
（2）设

3-x

=m，
则m≥0且x=3-m²y=

1

5

x+

3

5

3-x

=

1

5

（3-m²）+

3

5

m
=-

1

5

（m²-3m-3）=-

1

5

（m-

3

2

）²+

21

20

所以当m=

3

2

即：

3-x

=

3

2

，
也就是x=

3

4

万元时，
总利润最大，y_max=

21

20

万元
故应甲种商品投资

3

4

万元，对乙种商品投资

9

4

万元时，
总利润最大，最大值为

21

20

万元．

点评：本题重点考查函数模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，考查配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属于基础题．