Question

已知数列{a_n}，对于任意n≥2，在a_n-1与a_n之间插入n个数，构成的新数列{b_n}成等差数列，并记在a_n-1与a_n之间插入的这n个数均值为C_n-1．
（1）若a_n=，求C₁，C₂，C₃；
（2）在（1）的条件下是否存在常数λ，使{C_n-1-λC_n}是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由；
（3）求出所有的满足条件的数列{a_n}．

Answer 1

解：（1）由题意可得a₁=-2，a₂=1，a₃=5，a₄=10，∴在a₁与a₂之间插入-1、0，C₁=-，…1′
在a₂与a₃之间插入2、3、4，C₂=3，…2′在a₃与a₄之间插入6、7、8、9，C₃=．…3′
（2）在a_n-1与a_n之间插入n个数构成等差，d==1，∴C_n-1 ==．…5′
假设存在λ使得{C_n+1-λC_n}是等差数列，
∵（C_n+1-λC_n）-（C_n-λC_n-1）=C_n+1-C_n-λ（C_n-C_n-1）=-λ•=（1-λ）n+-λ=常数，
∴λ=1时{C_n+1-λC_n}是等差数列．…8′
（3）由题意满足条件的数列{a_n}应满足 =，…10′∴=．
∴• …•=•…•=．
∴a_n+1-a_n=（a₂-a₁）•（n+2），…12′
∴a_n-a_n-1=（a₂-a₁）•（n+1），
…
a₃-a₂=（a₂-a₁）×4，
a₂-a₁=（a₂-a₁）×3，
∴a_n-a₁=（a₂-a₁）•（n≥2）
∴a_n=（a₂-a₁）（n-1）（n+4）+a₁（n≥2）．…14′
又∵n=1时也满足条件，…15′
∴形如 a_n=a（n-1）（n+4）+b （a、b∈R） 的数列均满足条．…16′
分析：（1）由题意可得a₁=-2，a₂=1，a₃=5，a₄=10，由此求得C₁，C₂，C₃ 的值．
（2）在a_n-1与a_n之间插入n个数构成等差，d==1，可得C_n-1 的值，再根据等差数列的定义求得满足条件的λ．
（3）由题意满足条件的数列{a_n}应满足 =，即 =，用累乘法求得a_n+1-a_n=（a₂-a₁）•（n+2），再用累加法求得满足条件的
数列{a_n}的通项公式．
点评：本题主要考查等差关系的确定，等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，数列的函数特性，用累乘法和累加法求数列的通项公式，属于中档题．