Question

在100件产品中有98件合格品，2件次品．产品检验时，从100件产品中任意抽出3件．
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

Answer 1

分析：（1）由题意知从100件产品中抽3件，是一个组合问题，即是从100个产品中所出现的3个产品的组合，共有C₁₀₀³种结果
（2）由题意知本题是一个组合问题，抽出的三件产品恰好有一件次品，则包括一件次品和两件正品，共有C₂¹C₉₈²种结果．
（3）根据题意，“至少有1件次品”可分为“有1件次品”与“有2件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．
解法二：“至少有1件次品”的对立事件是“三件都是合格品”，用事件总数减去“三件都是合格品”的种数．

解答：解：（1）由题意知从100件产品中抽3件，是一个组合问题，
即是从100个产品中所出现的3个产品的组合，共有C₁₀₀³=161700
（2）抽出的三件产品恰好有一件次品，则包括一件次品和两件正品，
共有C₂¹C₉₈²=9506种结果．
（3）解法一：根据题意，“至少有1件次品”可分为“有1件次品”与“有2件次品”两种情况，
“有1件次品”的抽取方法有C₂¹C₉₈²种，
“有2件次品”的抽取方法有C₂²C₉₈¹种，
则共有C₂¹C₉₈²+C₂²C₉₈¹=9604种不同的抽取方法，
解法二，“至少有1件次品”的对立事件是“三件都是合格品”
“三件都是合格品”的抽取方法有C₉₈³种，
∴抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有C₁₀₀³-C₉₈³=9604
答：（1）一共有161700种不同的抽法
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有9506种结果
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有9604种结果．

点评：本题考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是看清题目抽取的产品与顺序无关，是一个组合问题，教材中出现过类似的问题，本题是一个中档题目．