Question

已知双曲线的一条渐近线为x+

3

y=0，且与椭圆x²+4y²=64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：椭圆方程为

x2

64

+

y2

16

=1，可知椭圆的焦距为8

3

，双曲线的一条渐近线为x+

3

y=0，可分双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，进行分类讨论，利用待定系数法，确定双曲线的标准方程．

解答：解：椭圆方程为

x2

64

+

y2

16

=1，可知椭圆的焦距为8

3

①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∴

a2+b2=48 b a = 3 3

解得

a2=36 b2=12

∴双曲线的标准方程为

x2

36

-

y2

12

=1（6分）
②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∴

a2+b2=48 a b = 3 3

解得

a2=12 b2=36

∴双曲线的标准方程为

y2

12

-

x2

36

=1
由①②可知，双曲线的标准方程为

x2

36

-

y2

12

=1或

y2

12

-

x2

36

=1（12分）

点评：本题考查椭圆、双曲线的标准方程与几何性质，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．