Question

直角坐标平面上，为原点，为动点，，. 过点作轴于，过作轴于点，. 记点的轨迹为曲线，

点、，过点作直线交曲线于两个不同的点、（点在与之间）.

（1）求曲线的方程；

（2）是否存在直线，使得，并说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）  （2）不存在直线l，使得|BP|=|BQ|

【解析】

试题分析：(Ⅰ)设点T的坐标为，点M的坐标为，则M₁的坐标为（0，），

，于是点N的坐标为，N₁的坐标

为，所以   

由

由此得   

由

即所求的方程表示的曲线C是椭圆.       

(Ⅱ)点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C

无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为    

由方程组

依题意   

当时，设交点PQ的中点为，

则

 

又     

而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.  

考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．当涉及直线与圆锥曲线的位置关系时，常需要把直线方程与圆锥曲线的方程联立，借助韦达定理求得答案．