Question

如图，ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面），过FB作圆柱的截面交下底面于C₁E₁，已知．
（1）证明：四边形BFE₁C₁是平行四边形；
（2）证明：FB⊥CB₁；
（3）求三棱锥A-A₁BF的体积．

Answer 1

证明：（1）因为圆柱的上下底面平行，
且FB、C₁E₁是截面与圆柱上、下底面的交线，
所以FB∥C₁E₁．
依题意得，正六边形ABCDEF是圆内接正六边形，
所以，正六边形的边长等于圆的半径，即AB=AF=1．
在△ABF中，由正六边形的性质可知，∠BAF=120°，
所以，，即
同理可得，所以FB=C₁E₁，故四边形BFE₁C₁是平行四边形．
（注：本小问的证明方法较多，如有不同证明方法请参照上述证明给分）
（2）连接FC，则FC是圆柱上底面的圆的直径，∵∠CBF=90°，即BF⊥BC 
又∵B₁B⊥平面ABCDEF，BF?平面ABCDEF，∴BF⊥B₁B                  
∵B₁B∩BC=B，
∴BF⊥平面B₁BCC₁．
又∵B₁C?平面B₁BCC₁，
∴FB⊥CB₁．                                      
（3）连接F₁C₁，则四边形CFF₁C₁是矩形，且FC=F₁C₁=2，FF₁⊥F₁C₁．
在RT△FF₁C₁中，，
∴三棱锥A₁-ABF的高为3．

∴三棱锥A₁-ABF的体积，
又三棱锥A₁-ABF的体积等于三棱锥A-A₁BF的体积，
∴三棱锥A-A₁BF的体积等于．
分析：（1）证明FB∥C₁E₁．FB=C₁E₁，即可证明四边形BFE₁C₁是平行四边形．
（2）连接FC，则FC是圆柱上底面的圆的直径，说明BF⊥BC，证明BF⊥B₁B，推出BF⊥平面B₁BCC₁，然后证明FB⊥CB₁．
（3）连接F₁C₁，求出三棱锥A₁-ABF的高为3，求出三棱锥A₁-ABF的体积，通过三棱锥A₁-ABF的体积等于三棱锥A-A₁BF的体积，求解三棱锥A-A₁BF的体积．
点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，余弦定理，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力．