Question

多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面α的距离可能是：①3；②4； ③5；④6；⑤7．以上结论正确的为

 

．（写出所有正确结论的编号）

Answer 1

分析：根据题意，一一验证正方体的各个顶点到平面α的距离即可进行判断，为了求出各个顶点到平面α的距离，注意应用中点的纽带作用．

解答：解：如图，B、D、A₁到平面α的距离分别为1、2、4，
则D、A₁的中点到平面α的距离为3，即
A、D₁的中点到平面α的距离为3
所以D₁到平面α的距离为6；同样地，
B、A₁的中点到平面α的距离为

5

2

，
所以B₁到平面α的距离为5；
则D、B的中点到平面α的距离为

3

2

，
所以C到平面α的距离为3；
C、A₁的中点到平面α的距离为

7

2

，
所以C₁到平面α的距离为7；
而P为C、C₁、B₁、D₁中的一点，
所以选①③④⑤．

点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于创新题．