Question

7．已知不等式|x-m|＜|x|的解集为（1，+∞）．
（1）求实数m的值；
（2）若不等式$\frac{a-5}{x}＜|{1+\frac{1}{x}}|-|{1-\frac{m}{x}}|＜\frac{a+2}{x}$对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解绝对值不等式可得不等式|x-m|＜|x|的解集为（1，+∞），可得1是方程2mx=m²的解，由此求得m的值．
（2）由题意可得不等式a-5＜|x+1|-|x-2|＜a+2对x∈（0，+∞）恒成立，结合f（x）=|x+1|-|x-2|∈（-1，3]，可得a+2＞3，a-5≤-1，由此求得a的范围．

解答 解：（1）由|x-m|＜|x|得|x-m|²＜|x|²，即2mx＞m²，而不等式|x-m|＜|x|的解集为（1，+∞），
∴1是方程2mx=m²的解，解得m=2（m=0舍去）．
（2）∵m=2，∴不等式$\frac{a-5}{x}＜|{1+\frac{1}{x}}|-|{1-\frac{m}{x}}|＜\frac{a+2}{x}$对x∈（0，+∞）恒成立，
等价于不等式a-5＜|x+1|-|x-2|＜a+2对x∈（0，+∞）恒成立．
设$f（x）=|{x+1}|-|{x-2}|=\left\{\begin{array}{l}2x-1，0＜x＜2\\ 3，x≥2\end{array}\right.$，则f（x）∈（-1，3]．
∴a+2＞3，且a-5≤-1，∴1＜a≤4．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．