Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），则{a_n}的通项a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{n!}{4}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 通过a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2）与a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1+na_n作差、整理可知a_n+1=（n+1）a_n，利用累乘法计算即得结论．

解答 解：∵a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），
∴a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1+na_n，
两式相减得：a_n+1-a_n=na_n，即a_n+1=（n+1）a_n，
又∵a₂=a₁=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=n，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=n-1，…，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=3，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$n!（n≥2），
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{n!}{4}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{n!}{4}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项，利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．