Question

13．已知函数f（x）=（x-2）e^x
（1）求f（x）在[t，t+2]上的最小值h（t）；
（2）若存在两个不同的实数α，β，使得f（α）=f（β），求证：α+β＜2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论t+2的范围，得到函数的单调区间，从而求出h（t）的解析式；
（2）构造函数g（x）=f（x）-f（2-x），求出函数的g（x）的导数，根据函数的单调性，得到f（2-α）＞f[2-（2-α）]=f（α）=f（β），从而证明结论即可．

解答 解：（1）根据题意，得f′（x）=（x-1）e^x．…（2分）
当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．…（3分）
当t+2≤1，即t≤-1时，f（x）在[t，t+2]上单调递减，h（t）=f（t+2）=te^t+2；
当t≤1＜t+2，即-1＜t≤1时，h（t）=f（1）=-e；
当t＞1时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，h（t）=f（t）=（t-2）e^t．…（5分）
所以h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{te}^{t+2}，t≤-1}\\{-e，-1＜t≤1}\\{（t-2{）e}^{t}，t≥1}\end{array}\right.$．…（6分）
（2）证明：构造函数g（x）=f（x）-f（2-x）=（x-2）e^x+$\frac{{e}^{2}x}{{e}^{x}}$，x＞1，．…（7分）
则g′（x）=（x-1）（e^x-$\frac{{e}^{2}}{{e}^{x}}$），
因为x＞1，所以x-1＞0，函数y=e^x-$\frac{{e}^{2}}{{e}^{x}}$单调递增，
所以e^x-$\frac{{e}^{2}}{{e}^{x}}$＞e-$\frac{{e}^{2}}{e}$=0，
所以在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，所以在区间（1，+∞）上g（x）单调递增，
所以g（x）＞g（1）=0，所以当x＞1时，f（x）＞f（2-x）．…（9分）
根据（1）中f（x）的性质，若存在两个不同的实数α，β，使得f（α）=f（β），
不妨设α＜β，则一定有α＜1，β＞1，当α＜1时，2-α＞1，
所以f（2-α）＞f[2-（2-α）]=f（α）=f（β），
因为f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以2-α＞β，α+β＜2．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．