Question

如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OA在第一象限，且与x轴的正半轴成定角60°，动点P在射线OA上运动，动点Q在y轴的正半轴上运动，△POQ的面积为2

3

．
（1）求线段PQ中点M的轨迹C的方程；
（2）R₁，R₂是曲线C上的动点，R₁，R₂到y轴的距离之和为1，设u为R₁，R₂到x轴的距离之积．问：是否存在最大的常数m，使u≥m恒成立？若存在，求出这个m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出OA的方程，设出M(x，y)，P(a，

3

a)，Q(0，b)，利用中点坐标公式，三角形的面积公式，消去a，b得点M的轨迹C的方程．
（2）设R₁（x₁，y₁），R₂（x₂，y₂），则x₁+x₂=1，推出u的表达式，令t=x₁•x₂则0＜t≤

1

4

，推出u=3(t+

2

t

-2)，利用导数判断函数的单调性，求出最大的常数m=

75

4

使u≥m恒成立．

解答：解：（1）射线OA：y=

3

x(x＞0)．（1分）
设M(x，y)，P(a，

3

a)，Q(0，b)（a＞0，b＞0），
则a=2x，

3

a+b=2y，（3分）
又因为△POQ的面积为2

3

，
所以ab=4

3

；（4分）
消去a，b得点M的轨迹C的方程为：

3

x2-xy+

3

=0（x＞0，y＞0）．（7分）
（2）设R₁（x₁，y₁），R₂（x₂，y₂），则x₁+x₂=1，（8分）
所以u=y1y2=

3

(x1+

1

x1

)•

3

(x2+

1

x2

)
=3(x1•x2+

1

x1•x2

+

x2

x1

+

x1

x2

)=3(x1•x2+

2

x1•x2

-2)（9分）
令t=x₁•x₂则0＜t≤

1

4

，所以有u=3(t+

2

t

-2)，（11分）
则有：当0＜t≤

1

4

时，u/=3(1-

2

t2

)＜0，
所以u=3(t+

2

t

-2)在(0，

1

4

]上单调递减，
所以当t=

1

4

时，umin=

75

4

，（13分）
所以存在最大的常数m=

75

4

使u≥m恒成立．（14分）

点评：本题中档题，考查与直线有关的函数的最值问题曲线的轨迹方程的求法，导数的应用，单调性常常利用导数求解；考查计算能力，转化思想，是有难度的中档题，常考题型．