Question

已知函数f（log_ax）=x+x^-1，（a＞0，a≠1）
（1）若f(1)=

5

2

求a；
（2）证明f（x）在[0，+∞）是增函数．

Answer 1

分析：（1）由题设条件f(1)=

5

2

知1=log_ax，可得x=a从而有a+a-1=

5

2

，由此方程解出a的值即可；
（2）首先解出函数f（x）的解析式，可利用换元法求解，令t=log_ax，得x=a^t，代入整理即可得到f（x）=a^x+a^-x，再由定义法证明它在[0，+∞）是增函数

解答：解：（1）由题设条件得1=log_ax，x=a
得a+a-1=

5

2

…（4分）
解得a=2或a=

1

2

…（7分）
（2）令t=log_ax，得x=a^t，代入函数f（log_ax）=x+x^-1整理得函数f（x）=a^x+a^-x
下由单调性定义证明
任取x₁，x₂，x1＞x2≥0，f(x1)-f(x2)=ax1+

1

ax1

-ax2-

1

ax2

，
=

(ax1-ax2)(ax1•ax2-1)

ax1•ax2

…（10分）
当a＞1时x1＞x2≥0，(ax1-ax2)＞0，ax1•ax2＞1
当0＜a＜1时x1＞x2≥0，(ax1-ax2)＜0，ax1•ax2＜1
故f（ x₁）＞f（ x₂），
所以f（x）在[0，+∞）是增函数．（14分）

点评：本题考查函数与方程的综合运用，解对数方程，幂函数方程，定义法证明单调性，解题的关键是利用换元法求出f（x）的解析式及熟练掌握定义法的证明单调性，其步骤是，任取，作差，判号，得出结论，其中判号一步易忽略，是易错点，换元法是求外层函数解析式常用的技巧，其规律固定，要熟练掌握