Question

（理科）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点（3，-）且方向向量为的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于M点，又．
（1）求直线l方程；  
（2）求椭圆C长轴长取值的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件：一条经过点（3，-）且方向向量为，可得直线的斜率，进而可求直线l方程； 
（2）将直线与椭圆方程联立，利用．可得几何量之间的关系，借助于直线l交椭圆C于A、B两点，从而有判别式大于0，故可求椭圆C长轴长取值的范围．
解答：解：（1）直线l过点（3，-）且方向向量为∴
化简为：…（4分）

（2）设直线
交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），和x轴交于M（1，0）
由…（7分）
将…①
由韦达定理知：
由②²/③知：32b²=（4b²+5a²）（a²-1）…（10分）
化为…④
对方程①求判别式，且由△＞0，即
化简为：5a²+4b²＞5…⑤
由④式代入⑤可知：，
又椭圆的焦点在x轴上，则a²＞b²，由④知：．
因此所求椭圆长轴长2a范围为．
点评：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理可解．