Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁，平面A₁ABB₁⊥平面ABC，AA₁=AB=2，∠A₁AB=60°，AC=BC=

2

．O，E分别是AB，CC₁中点．
（Ⅰ）求证：OE∥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）求直线BC₁与平面ABB₁A₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AA₁的中点F，连接OF，EF．根据三角形中位线定理，易得到OF∥A₁B，再由线面平行的判定定理，可得OF∥平面A₁C₁B，证明EF∥平面A₁C₁B，可得平面OEF∥平面A₁C₁B，即可证明OE∥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）证明∠O₁BC₁是直线BC₁与平面ABB₁A₁所成角，从而可求直线BC₁与平面ABB₁A₁所成角的大小．

解答：（Ⅰ）证明：取AA₁的中点F，连接OF，EF，
∵O是AB的中点，
∴OF∥A₁B，
∵OF?平面A₁C₁B，A₁B?平面A₁C₁B，
∴OF∥平面A₁C₁B，
∵EF∥A₁C₁，EF?平面A₁C₁B，A₁C₁?平面A₁C₁B，
∴EF∥平面A₁C₁B，
∵OF∩EF=F，
∴平面OEF∥平面A₁C₁B，
∵OE?平面OEF，
∴OE∥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）解：∵AB=2，AC=BC=

2

，O是AB的中点，
∴OC⊥AB，OC=1，
∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，平面A₁ABB₁∩平面ABC=AB，
∴OC⊥平面A₁ABB₁，
∴∠O₁BC₁是直线BC₁与平面ABB₁A₁所成角，
∵AA₁=AB=2，∠A₁AB=60°，O是AB的中点，
∴A₁O=

3

，
在直角△O₁BC₁中，O₁C₁=OC=1，O₁B=A₁O=

3

，
∴tan∠O₁BC₁=

3

3

，
∴∠O₁BC₁=30°，
∴直线BC₁与平面ABB₁A₁所成角的大小为30°．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．