Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．

(1)求证：EF∥平面ABC₁D₁；

(2)求证：EF⊥B₁C；

(3)求三棱锥B₁－EFC的体积．

Answer 1

解：(1)证明：连接BD₁，在△DD₁B中，E、F分别为D₁D、DB的中点，则EF∥D₁B.又EF⊄平面ABC₁D₁，D₁B⊂平面ABC₁D₁，∴EF∥平面ABC₁D₁.

(2)证明：由题易得B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，AB∩BC₁＝B，

∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，又BD₁⊂平面ABC₁D₁，

∴B₁C⊥BD₁，又EF∥BD₁，

∴EF⊥B₁C.

(3)∵CF⊥BD，CF⊥BB₁，BD∩BB₁＝B，

∴CF⊥平面BDD₁B₁，

即CF⊥平面EFB₁，

又易得CF＝BF＝，BD₁＝2，

∴EF＝BD₁＝，

∴B₁F＝＝＝，

B₁E＝＝ ＝3，

∴EF²＋B₁F²＝B₁E²，

故∠EFB₁＝90°，