Question

已知动圆C过点A（1，0），且与定直线l₀：x=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹D方程；
（2）设圆心C的轨迹在x≤4的部分为曲线E，过点P（0，2）的直线l与曲线E交于A，B两个不同的点，且

PA

=λ

PB

（λ＞1），试求λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得圆心C到点A的距离等于到直线l₀的距离，从而得到圆心C的轨迹是抛物线，顶点为原点，由此能求出动圆圆心C的轨迹D的方程．
（2）由题意设l的方程为y=kx+2，由图象，得k≤-

3

2

，作AA₁⊥y轴，BB₁⊥y轴，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则λ=

x1

x2

，解方程组

y2=4x y=kx+2

，得k²x²+4（k-1）x+4=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出λ的取值范围．

解答： 解：（1）∵动圆C过点A（1，0），且与定直线l₀：x=-1相切，
∴圆心C到点A的距离等于到直线l₀的距离，
∴圆心C的轨迹是抛物线，顶点为原点，

p

2

=1，
∴动圆圆心C的轨迹D的方程为：y²=4x．
（2）由题意得过点P的直线l与抛物线D有两个交点，
则l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx+2，
由图象，得k≤-

3

2

，
作AA₁⊥y轴，BB₁⊥y轴，垂足分别为A₁，B₁，
则λ=

|PA|

|PB|

=

|PA1|

|PB1|

=

|AA1|

|BB1|

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则λ=

x1

x2

，
解方程组

y2=4x y=kx+2

，得k²x²+4（k-1）x+4=0，
△=16（k-1）²-16k²=16（1-2k），
x1=

2(1-k)+2 1-2k

k2

，x2=

2(1-k)-2 1-2k

k2

，
∴

x1

x2

=

(1-k)+ 1-2k

(1-k)- 1-2k

，
设

1-2k

=t，由k≤-

3

2

，得

1-2k

≥2，k=

1-t2

2

，
∴

x1

x2

=

1- 1-t2 2 +t

1- 1-t2 2 -t

=（

t+1

t-1

）²=（1+

2

t-1

）²，
∵t≥2，∴t-1≥1，0＜

2

1-t

≤2，1＜1+

2

1-t

≤3，
∴1＜（1+

2

1-t

）²≤9，∴λ的取值范围为（1，9]．

点评：本题考查动圆圆心的轨迹方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．