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例2:已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),是否存在常数a、b、c,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x都成立?
【答案】分析:通过图象过一点得到a、b、c一关系式,观察发现1≤f(1)≤1,又可的一关系式,再将b、c都有a表示.不等式x≤f(x)≤对一切实数x都成立可转化成两个一元二次不等式恒成立,即可解得.
解答:解:∵f(x)的图象过点(-1,0),∴a-b+c=0①
∵x≤f(x)≤对一切x∈R均成立,
∴当x=1时也成立,即1≤a+b+c≤1.
故有a+b+c=1.②
由①②得b=,c=-a.
∴f(x)=ax2+x+-a.
故x≤ax2+x+-a≤对一切x∈R成立,
也即恒成立
解得a=.∴c=-a=
∴存在一组常数a=,b=,c=,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立.
点评:本题考查了函数恒成立问题,以及不等式的证明,赋值法(特殊值法)可以使“探索性”问题变得比较明朗,它是解决这类问题比较常用的方法.
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