Question

3．某几何体三视图如右，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图为矩形且AA₁=3，D为AA₁中点．
（1）求该几何体的体积；
（2）求证：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁； 
（3）BC边上是否存在点P，使AP∥平面BDC₁．若存在，证明该结论，不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中的三视图有两个矩形一个三角形，可得该几何体是一个以左视图所示的三角形为底面的正三棱柱，根据左视图是边长为2，AA₁=3，我们分别确定出棱柱的底面面积和高，代入棱柱体积公式，即可得到答案．
（2）连接B₁C交BC₁于E点，则E为B₁C，BC₁的中点，连接DE，利用全等三角形对应边相等可得BD=DC₁，又由D为AA₁的中点，可得DE⊥BC₁，结合 DE⊥B₁C和线面垂直的判定定理可得DE⊥平面BB₁C₁C，再由面面垂直的判定定理，即可证得平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C
（3）取BC的中点P，连接AP，由（2）中结论及正三棱柱的几何特征，我们可证得四边形APED为平行四边形，进而AP∥DE，再由线面平行的判定定理，即可得到答案．

解答 （1）解：由题意可知该几何体为直三棱柱，它的直观图如图所示：
∵几何体的底面积S=$\sqrt{3}$，高h=3
∴所求几何体的体积V=Sh=3$\sqrt{3}$，
（2）证明：连接B₁C交BC₁于E点，则E为B₁C，BC₁的中点，连接DE
∵AD=A₁D，AB=A₁C₁，∠BAD=∠DA₁C₁=90°
∴△ABD≌△DA₁C₁，
∴BD=DC₁，
∴DE⊥BC₁，
又∵B₁C∩BC₁=E，
∴DE⊥平面BB₁C₁C
又∵DE?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C
（3）解：取BC的中点P，连接AP，则AP∥BDC₁，
∴四边形APED为平行四边形
∴AP∥DE，
又∵DE?BDC₁，AP?BDC₁，
∴AP∥BDC₁．

点评 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，由三视图求体积，直线与平面平行的判定，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状，进而根据正三棱柱的几何特征，得到其中的线面关系是解答本题的关键．