Question

设双曲线C：－y²＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B．

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

(2)设直线l与y轴的交点为P，取＝，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0．① 　　∴ 　　解之，得0＜a＜且a≠1． 　　又双曲线的离心率e＝， 　　∵0＜a＜，且a≠1， 　　∴e＞且e≠． 　　(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)， 　　∵＝， 　　∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)． 　　由此得x1＝x2． 　　由于x1、x2是方程①的两根，且1－a2≠0， 　　∴x2＝，x22＝． 　　消去x2得，由a＞0得a＝． 　　解析：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，联立直线与双曲线方程是必须的，第(1)问利用△＞0可得a的范围，再写出离心率关于a的表达式，可求出离心率的范围；第(2)问由韦达定理及向量坐标关系，可得到关于a的方程，解出a即可．